Question

设双曲线-y²=1的右焦点为F，点P₁、P₂、…、P_n是其右上方一段（2≤x≤2，y≥0）上的点，线段|P_kF|的长度为a_k，（k=1，2，3，…，n）．若数列{a_n}成等差数列且公差d∈（，），则n最大取值为    ．

Answer

根据双曲线的第二定义，可得|PkF|的长度ak=xk-2，结合题意2≤xk≤2得n取最大值时d=，再解不等式＜＜，找出它的最大整数解，即得n的最大值．
【解析】
由题意，得a2=4，b2=1，c==，可得 双曲线 的右准线为：x=，即x=
设Pk坐标为（xk，yk），Pk到右准线的距离为dk（k=1，2，3，…，n），
根据双曲线的第二定义，得=e=，
∴|PkF|=dk=（xk-）=xk-2
∵|PkF|的长度为ak，∴ak=xk-2
∵数列{an}成等差数列，且公差d∈（，），
∴=∈（，），
∵2≤xk≤2，（k=1，2，3，…，n），公差d是正数
∴0＜xn-x1≤2-2，得n取最大值时d==
∴＜＜，解之得5-4＜n＜26-5
因为26-5≈14.82，所以满足条件的最大整数n=14
故答案为：14