Question

已知f（x）=log₂（4^x+1）+2kx（x∈R）是偶函数．
（1）求实数k的值；
（2）若关于x的方程f（x）-m=0有解，求实数m的取值范围．

Answer

（1）根据函数f（x）是偶函数建立等式关系，化简可得实数k的值；
要使方程f（x）-m=0有解，转化成求函数的值域，将m分离出来，利用基本不等式，即可求实数m的取值范围．
【解析】
（1）∵函数f（x）=log2（4x+1）+2kx（k∈R）是偶函数
∴f（-x）=log2（4-x+1）-2kx=f（x）=log2（4x+1）+2kx恒成立
即log2（4x+1）-2x-2kx=log2（4x+1）+2kx恒成立
解得k=-；
（2）由（1）知，f（x）=log2（4x+1）-x
∴f（x）-m=0等价于m=log2（4x+1）-x
∵log2（4x+1）-x=≥1
∴要使方程f（x）-m=0有解，m的取值范围为m≥1．