Question

已知向量，=（1，sinx），f（x）=．
（1）求函数y=f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若f（）=，b=，c=，求a的值．

Answer

（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，再利用两角和与差的直正弦函数公式及二倍角的余弦函数公式化简，整理后得到一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式，即可求出函数的最小正周期；根据正弦函数的单调递减区间为[2kπ+，2kπ+]（k∈Z），列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到函数的递减区间；
（2）由（1）得出的解析式及f（）=，求出sinB的值，再由b，c的值，利用正弦定理求出sinC的值，由b大于c，得到C为锐角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosC的值，利用余弦定理列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．
【解析】
（1）∵向量，=（1，sinx），f（x）=．
∴f（x）=sin（2x+）+sin2x=sin2x+cos2x+（1-cos2x）=sin2x+，
∵ω=2，∴T==π，
令2kπ+≤2x≤2kπ+（k∈Z），解得：kπ+≤x≤kπ+（k∈Z），
则f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）；
（2）由（1）确定的函数解析式，可得f（）=sinB+=，
整理得：sinB=，又b=，c=，
根据正弦定理得：sinC==，
又b＞c，∴B＞C，即C为锐角，
∴cosC==，
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC得：3=a2+5-2a，即a2-2a+2=0，
解得：a=+1或a=-1．