Question

已知x轴上的点A₁，A₂…，A_n满足=（n≥2，n∈N^*），其中A₁（1，0），A₂（5，0）；点B₁，B₂，…B_n，…在射线y=x（x≥0）上，满足||=||+2 （n∈N^*），其中B₁（3，3）．
（1）用n表示点A_n与B_n的坐标；
（2）设直线A_nB_n的斜率为k_n，求k_n的值；
（3）求四边形A_nA_n+1B_n+1B_n面积S的取值范围．

Answer

（1）根据=，可得，从而可得{xn-xn-1}是以4为首项，为公比的等比数列；利用射线y=x（x≥0）上，满足||=||+2 （n∈N*），可得{xn}是以3为首项，2为公差的等差数列，由此可用n表示点An与Bn的坐标；
（2）确定直线AnBn的斜率为kn=，从而可求kn的值；
（3）四边形AnAn+1Bn+1Bn面积S=（9-23-n）（2n+3）-=，确定函数的单调性，从而可求四边形AnAn+1Bn+1Bn面积S的取值范围．
【解析】
（1）由题意，
∵A1（1，0），A2（5，0），∴x2-x1=4
∴{xn-xn-1}是以4为首项，为公比的等比数列
∴
∴xn=x1+（x2-x1）+…+（xn-xn-1）=1+4+…+=9-24-n
∴An（9-24-n，0）；
∵射线y=x（x≥0）上，满足||=||+2 （n∈N*），
∴xn+1=+2
∴xn+1-xn=2
∵B1（3，3）．
∴{xn}是以3为首项，2为公差的等差数列，
∴xn=2n+1
∴Bn（2n+1，2n+1）；
（2）设直线AnBn的斜率为kn=，∴kn==1；
（3）四边形AnAn+1Bn+1Bn面积S=（9-23-n）（2n+3）-=
设an=，则an+1=
∵an+1-an=[]-[]=
∴a2＞a1，a2＞a3＞a4＞a5＞…
∴a2最大，为12
∴四边形AnAn+1Bn+1Bn面积S的取值范围为（-∞，12]．