Question

已知椭圆+=1（a＞b＞0），半焦距为c（c＞0），且满足（2a-3c）+（a-c）i=i（其中i为虚数单位），经过椭圆的左焦点F（-c，0），斜率为k₁（k₁≠0）的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当k1=1时，求S_△AOB的值；
（3）设R（1，0），延长AR，BR分别与椭圆交于C，D两点，直线CD的斜率为k₂，求证：为定值．

Answer

（1）根据（2a-3c）+（a-c）i=i，可求a，c的值，利用b2=a2-c2=5，即可求椭圆Γ的方程；
（2）设直线AB的方程为y=x+2，代入椭圆方程，消去y可得14x2+36x-9=0，求出|AB|，O点到直线AB的距离为d，即可求S△AOB的值；
（3）求出直线AR的方程，代入椭圆方程消去x并整理，从而可得C的坐标，同理可得D的坐标，进而可求斜率，化简，即可得到结论．
（1）【解析】
∵（2a-3c）+（a-c）i=i，∴2a-3c=0且a-c=1，∴a=3，c=2
∴b2=a2-c2=5，
故椭圆的方程为；
（2）【解析】
由（1）知F（-2，0），∴直线AB的方程为y=x+2，
代入椭圆方程，消去y可得14x2+36x-9=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=-
∴|AB|=|x1-x2|=
设O点到直线AB的距离为d，则d==
∴S△AOB=|AB|•d=××=；
（3）证明：设C（x3，y3），D（x4，y4），
由已知，直线AR的方程为y=，即
代入椭圆方程消去x并整理，得
则y1y3=-，∴y3=
∴=
∴C（）
同理D（）
∴k2==
∵y1=k1（x1+2），y2=k2（x2+2），
∴k2===
∴=