Question

已知数列A_n：a₁，a₂，…，a_n．如果数列B_n：b₁，b₂，…，b_n满足b₁=a_n，b_k=a_k-1+a_k-b_k-1，其中k=2，3，…，n，则称B_n为A_n的“生成数列”．
（1）若数列A₄：a₁，a₂，a₃，a₄的“生成数列”是B₄：5，-2，7，2，求A₄；
（2）若n为偶数，且A_n的“生成数列”是B_n，证明：B_n的“生成数列”是A_n；
（3）若n为奇数，且A_n的“生成数列”是B_n，B_n的“生成数列”是C_n，…．依次将数列A_n，B_n，C_n，…的第i（i=1，2，…，n）项取出，构成数列Ω_i：a_i，b_i，c_i，…证明：数列Ω_i是等差数列，并说明理由．

Answer

本题是新定义问题．
对于（1），根据题目给出的新定义，列有关a1，a2，a3，a4，的方程组求解；
对于（2），可采用两种证明方法，方法①可根据题目给出的条件，b1=an，bk=ak-1+ak-bk-1，分析归纳得到想，然后用数学归纳法证明该式成立，由此衍生新生成数列Cn，进一步说明Cn就是An，也可依据已知写出b1=an，b1+b2=a1+a2，b2+b3=a2+a3…，消去偶数式求证；
对于（3），欲证数列Ωi是等差数列，可设数列Xn，Yn，Zn中后者是前者的“生成数列”．欲证Ωn成等差数列，只需证明xn，yn，zn成等差数列，即只要证明2yi=xi+zi（i=1，2，…，n）即可．
【解析】
（1）由题意得，b1=a4=5，b2=-2=a2+a1-5，b3=7=a3-a1+5，b4=2=a4+a1-5，
所以A4：2，1，4，5
（2）证法一：
证明：由已知，b1=a1-（a1-an），b2=a1+a2-b1=a2+（a1-a2）
因此，猜想
①当i=1时，b1=a1-（a1-an），猜想成立；
②假设i=k（k∈N*时，．
当i=k+1时，
=
=
故当i=k+1时猜想也成立．
由 ①、②可知，对于任意正整数i，有．
设数列Bn的“生成数列”为Cn，则由以上结论可知
，其中i=1，2，3…n．
由于n为偶数，所以，
所以，其中i=1，2，3，…，n．
因此，数列Cn即是数列An．
证法二：
因为b1=an，b1+b2=a1+a2，b2+b3=a2+a3，
…bn-1+bn=an-1+an，…
由于n为偶数，将上述n个等式中的第2，4，6，…，n这个式子都乘以-1，相加得
b1-（b1+b2）+（b2+b3）-…-（bn-1+bn）=an-（a1+a2）+（a2+a3）-…-（an-1+an）
即-bn=-a1，∴bn=a1．
由于a1=bn，ai=bi-1+bi-ai-1（i=1，2…，n）
根据“生成数列”的定义知，数列An是Bn的“生成数列”．
（3）证明：设数列Xn，Yn，Zn中后者是前者的“生成数列”．欲证Ωn成等差数列，只需证明xn，yn，zn成等差数列，即只要证明2yi=xi+zi（i=1，2，…，n）即可
由（2）中结论可知，

=
=
=
=，
所以，，即xi，yi，zi成等差数列，
所以Ωn是等差数列．