Question

已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（ ）

A．f（x）=x²-2ln|x|
B．f（x）=x²-ln|x|
C．f（x）=|x|-2ln|x|
D．f（x）=|x|-ln|x|

Answer

根据函数f（x）的图象关于y轴对称，可得函数f（x）是偶函数．再根据函数在（ 0，+∞）上的单调性，判断各个选项的正确性，从而得到答案．
【解析】
由函数f（x）的图象关于y轴对称，可得函数f（x）是偶函数．
当 x＞0 时，根据函数图象可知函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上是增函数．
对选项A：f（x）=x2 -2ln|x|=x2 -2lnx，f′（x）=2x-2•，在（0，1）上小于零恒成立，
在（1，+∞）上大于零恒成立，故函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上是增函数，符合要求，故正确．
对选项B：f（x）=x2-ln|x|=x2 -lnx，f′（x）=2x-在（0，1）上可以为正数，也可能为负数，
故函数在（0，1）上没有单调性，不符合要求，故不正确．
对于现象C：f（x）=|x|-2ln|x|=x-2lnx，f′（x）=1-，在（1，+∞）上可以为正数，也可能为负数，
故函数在（1，+∞）上没有单调性，不符合要求，故不正确．
对选项D：f（x））=|x|-ln|x|=x-lnx，f′（x）=1-，在（0，1）上小于零恒成立，
在（1，+∞）上大于零恒成立，故函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上是增函数，符合要求．
但当x＞1时，它的增长速度应小于函数y=x的增长速度，这与所给的图象不相符合，故D不正确．
故选B．