Question

在直角坐标系中，点O为坐标原点，已知，（i=1，2，3…，n，…），△A_iB_iA_i+1（i=1，2，…，n，…）是等边三角形，且点B₁，B₂…B_n…在同一条曲线C上，那么曲线C的方程是    ；设点B_n（i=1，2，…n…）的横坐标是n（n∈N*）的函数f（n），那么f（n）=    ．

Answer

根据，（i=1，2，3…，n，…），△AiBiAi+1（i=1，2，…，n，…）是等边三角形，且点B1，B2…Bn…在同一条曲线C上，可得Bn横坐标、纵坐标的表达式，由此可得结论．
【解析】
设Bn（x，y），则
∵（i=1，2，3…，n，…），
∴=2i-1
∴=+（）+…+=+1+3+…+（2i-1）=-+i2
∵△AiBiAi+1（i=1，2，…，n，…）是等边三角形，
∴x=[+n2-+（n-1）2]=，y=[+n2+-（n-1）2]=（2n-1）
消去n得y2=3x．
∴曲线C的方程是y2=3x，f（n）=
故答案为：y2=3x，f（n）=