Question

对于数列{a_n}，从第二项起，每一项与它前一项的差依次组成等比数列，称该等比数列为数列{a_n}的“差等比数列”，记为数列{b_n}．设数列{b_n}的首项b₁=2，公比为q（q为常数）．
（I）若q=2，写出一个数列{a_n}的前4项；
（II）（ⅰ）判断数列{a_n}是否为等差数列，并说明你的理由；
（ⅱ）a₁与q满足什么条件，数列{a_n}是等比数列，并证明你的结论；
（III）若a₁=1，1＜q＜2，数列{a_n+c_n}是公差为q的等差数列（n∈N*），且c₁=q，求使得c_n＜0成立的n的取值范围．

Answer

（Ⅰ）因为数列{bn}是等比数列，且b1=2，q=2，所以b2=4，b3=8，由此能够求出一个数列{an}的前4项．
（Ⅱ）（ⅰ）因为b1=2，所以．q=1时，数列{an}是等差数列．若q≠1时，数列{an}不是等差数列．
（ⅱ）因为数列{bn}是等比数列，首项b1=2，公比为q，所以b2=2q，．所以a2=a1+2，a3=a1+2+2q．因为数列{an}是等比数列，所以，所以当q=时，数列{an}是等比数列．
（Ⅲ）因为{an+cn}是公差为q的等差数列，所以（an+cn）-（an-1+cn-1）=q，由此猜想：当n≥3时，cn＜0．再用数学归纳法证明．
【解析】
（Ⅰ）因为数列{bn}是等比数列，且b1=2，q=2，
所以b2=4，b3=8，
所以a1=1，a2=3，a3=7，a15=15．（写出满足条件的一组即可）
…（2分）
（Ⅱ）（ⅰ）因为b1=2，
所以a2-a1=2，a3-a2=2q，，…，，n≥2．
所以．
①若q=1，所以an-an-1=2，
所以数列{an}是等差数列．…（3分）
②若q≠1，所以，
所以an+1-an=-==2qn-1．
因为q≠1，所以2qn-1不是常数．
所以数列{an}不是等差数列．…（5分）
（ⅱ）因为数列{bn}是等比数列，首项b1=2，公比为q，
所以b2=2q，．所以a2=a1+2，a3=a1+2+2q．
因为数列{an}是等比数列，
所以，
即（a2+2）2=a1•（a1+2+2q），
所以q=．
所以当q=时，数列{an}是等比数列．…（7分）
（Ⅲ）因为{an+cn}是公差为q的等差数列，
所以（an+cn）-（an-1+cn-1）=q，
又，
所以，
所以，…，c3-c2=q-2q，c2-c1=q-2，
所以）
=nq-．…（9分）
所以c1=q＞0，c2=2（q-1）＞0，c3=q-2＜0，
c4=-2（q2-q+1）=-2（q-）2-＜0，…
猜想：当n≥3时，cn＜0．
用数学归纳法证明：
①当n=3时，c3＜0显然成立，
②假设当n=k（k≥3）时，ck＜0，
那么当n=k+1时，＜q-2qk-1=q（1-2qk-2），
因为1＜q＜2，k≥3，
所以1-2qk-2＜0．
所以cn+1＜0，
所以当n=k+1时，cn+1＜0成立．
由①、②所述，当n≥3时，恒有cn＜0．…（14分）