Question

设a，b，c，d∈R，若a，1，b成等比数列，且c，1，d 成等差数列，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．a+b≤2cd
B．a+b≥2cd
C．|a+b|≤2cd
D．|a+b|≥2cd

Answer

由题意可得ab=1，c+d=2，由于a，b，c，d的正负不确定，选项A，B不恒成立，由于ab=1＞0，则a，b同号，|a+b|=|a|+|b|=2，当cd＜0时，c+d＞0＞2cd；当cd＞0时，由c+d=2可知，c＞0，d＞0，则可知cd=1，从而可得
【解析】
由题意可得ab=1，c+d=2
由于a，b，c，d的正负不确定
A：例如a=-2，b=-，c=-8，d=10，此时a+b＞2cd，故A错误
B：例如a=-2，b=-，c=1，d=1，此时a+b＜2cd，故B错误
由于ab=1＞0，则a，b同号，|a+b|=|a|+|b|=2，
当cd＜0时，c+d＞0＞2cd
当cd＞0时，由c+d=2可知，c＞0，d＞0，则可知cd=1
∴|a+b|≥2cd
综上可得，|a+b|≥2cd