Question

如图，已知正方形ABCD在水平面上的正投影（投影线垂直于投影面）是四边形A′B′C′D′，其中A与A'重合，且BB′＜DD′＜CC′．
（1）证明AD′∥平面BB′C′C，并指出四边形AB′C′D′的形状；
（2）如果四边形中AB′C′D′中，AD′=，AB′=，正方形的边长为，求平面ABCD与平面AB′C′D′所成的锐二面角θ的余弦值．

Answer

（1）先证明BB°∥CC′∥DD′，在CC′上取点E，使得CE=DD′，连接BE，D′E，证明ABED′是平行四边形，可得AD′∥BE，从而可证AD′平面BB′C′C，四边形AB′C′D′是平行四边形；
（2）先证明AC′⊥B′C′，根据正方形ABCD在水平面上的正投影（投影线垂直于投影面）是四边形A′B′C′D′，可得平面ABCD与平面AB′C′D′所成的锐二面角θ的余弦值=，计算面积即可求得结论．
（1）证明：依题意，BB′⊥平面AB′C′D′，CC′⊥平面AB′C′D′，DD′⊥平面AB′C′D′，
所以BB°∥CC′∥DD′．             …（2分）
在CC′上取点E，使得CE=DD′，
连接BE，D′E，如图1．

因为CE∥DD′，且CE=DD′，所以CDD′E是平行四边形，∴D′E∥DC，且D′E=DC．
又ABCD是正方形，∴DC∥AB，且DC=AB，
所以D′E∥AB，且D′E=AB，故ABED′是平行四边形，…（4分）
从而AD′∥BE，又BE⊂平面BB′C′C，AD′⊄平面BB′C′C，
所以AD′∥平面BB′C′C．           …（6分）
四边形AB′C′D′是平行四边形．…（7分）
（2）依题意，在Rt△ABB′中，BB′=1，在Rt△ADD′中，DD′=2，
所以CC′=BB′+DD′-AA′=1+2-0=3．   …（8分）
连接AC，AC′，如图2，
在Rt△ACC′中，AC′=．
所以AC′2+B′C′2=AB′2，故AC′⊥B′C′．…（10分）
由题意，正方形ABCD在水平面上的正投影（投影线垂直于投影面）是四边形A′B′C′D′，
所以平面ABCD与平面AB′C′D′所成的锐二面角θ的余弦值=．  …（12分）
而SABCD=6，SAB′C′D′=B′C′×AC′=，所以cosθ=，
所以平面ABCD与平面AB′C′D′所成的锐二面角θ的余弦值为． …（14分）