Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=（1+）a_n+．
（1）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（2）在数列{a_n}中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出满足条件的所有项；若不存在，说明理由．

Answer

（1）由a1=1，an+1=（1+）an+，知an+1=（1+）an+，an+1=an+，所以-=，由累加法求出．由此能求出Sn．
（2）假设在数列{an}中，存在连续三项ak-1，ak，ak+1（k∈N*，k≥2）成等差数列，则ak-1+ak+1=2ak，即[2（k-1）-]+[2（k+1）-]=2（2k-），由此能够推导出在数列{an}中，有且仅有连续三项a2，a3，a4成等差数列．
【解析】
（1）∵a1=1，an+1=（1+）an+，
∴an+1=（1+）an+，
an+1=an+，
n×an+1=（n+1）an+（n+1）×
∴-=，
=，
…
=．
等式两边相加，得：
+…+==1-，
∴．
∵Sn=2（1+2+3+…+n）-（++…+）
=n（n+1）-（++…+）．
设S=++…+，①
则=++…+，②
①-②，得=1+++…+-
=1+-
=2--，
∴S=4--．
∴Sn=n（n+1）-4+．
（2）假设在数列{an}中，存在连续三项ak-1，ak，ak+1（k∈N*，k≥2）成等差数列，
则ak-1+ak+1=2ak，即[2（k-1）-]+[2（k+1）-]=2（2k-），
即=0，∴k=3．
∴在数列{an}中，有且仅有连续三项a2，a3，a4成等差数列．