Question

若θ是三角形的一个内角，且m=sinθ+cosθ，则“0＜m＜1”是“方程x²sinθ+y²cosθ=1表示的曲线是双曲线”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

Answer

利用m=sinθ+cosθ，两边平方m2=1+2sinθcosθ，结合θ是三角形的一个内角，可知充分性成立；当θ=时，方程x2sinθ+y2cosθ=1表示的曲线是双曲线，但是m=sinθ+cosθ=0，故可得结论．
【解析】
∵m=sinθ+cosθ，∴m2=1+2sinθcosθ
∵0＜m＜1，∴sinθcosθ＜0
∵θ是三角形的一个内角，∴sinθ＞0，cosθ＜0
∴方程x2sinθ+y2cosθ=1表示的曲线是双曲线
∴“0＜m＜1”是“方程x2sinθ+y2cosθ=1表示的曲线是双曲线”的充分条件
当θ=时，方程x2sinθ+y2cosθ=1表示的曲线是双曲线，但是m=sinθ+cosθ=0
∴“0＜m＜1”不是“方程x2sinθ+y2cosθ=1表示的曲线是双曲线”的必要条件
∴“0＜m＜1”是“方程x2sinθ+y2cosθ=1表示的曲线是双曲线”的充分不必要条件
故选A．