Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+2ⁿ．
（Ⅰ）求证：数列{}是等差数列；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求证：对任意的n∈N₊，S_n+1-4a_n是一个常数．

Answer

（I）将等式an+1=2an+2n两边同时除以2n+1，然后化简整理，根据等差数列的定义可判定；
（Ⅱ）根据（I）求出数列{an}的通项公式，然后利用错位相消法求数列{an}的前n项和为Sn，最后再判定对任意的n∈N+，Sn+1-aan是否是一个常数．
【解析】
（I）∵a1=1，an+1=2an+2n．
∴===
∴数列{}是以=为首项，为公差的等差数列
（Ⅱ）由（I），知=+（n-1）=
∴an=n•2n-1
∴Sn=1•2+2•21+3•22+…+n•2n-1
∴2Sn=1•21+2•22+3•23+…+（n-1）•2n-1+n•2n
由②-①，可得Sn=n•2n-（1+2+22+…2n-1）=（n-1）•2n+1
∴Sn+1-4an=n•2n+1+1-4n•2n-1=1，故结论成立．