Question

如图，在四棱锥0-ABCD中，OA⊥底面ABCD，且底面ABCD是边长为2的正方形，且OA=2，M，N分别为OA，BC的中点．
（Ⅰ）求证：直线MN∥平面OCD；
（Ⅱ）求点B到平面DMN的距离．

Answer

（I）分别以AB、AD、AO为x、y、z轴，建立如图坐标系．求得B、C、D、O、M、N各点的坐标，从而得出、、、、的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法解方程组，得到平面OCD的法向量为=（0，1，1），再计算出•═0，可得⊥，结合MN是平面OCD外的直线，得到直线MN∥平面OCD；
（II）利用垂直向量数量积为零的方法解方程组，得到平面DMN的法向量=（1，2，4），再结合空间点到平面距离公式，可算出点B到平面DMN的距离．
【解析】
（I）分别以AB、AD、AO为x、y、z轴，建立如图坐标系
可得B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），O（0，0，2），M（0，0，1），N（2，1，0）
∴=（2，1，-1），=（0，-2，2），=（2，0，0），=（2，0，0），=（0，1，0）
设平面OCD的法向量为=（x，y，z），
由，得
取y=1，得z=1，x=0，所以平面OCD的法向量为=（0，1，1），
∴•=2×0+1×1+（-1）×1=0，可得⊥
又∵MN⊄平面OCD，
∴直线MN∥平面OCD；
（II）设平面DMN的法向量=（x'，y'，z'），
由=（0，-2，1），=（2，-1，0），得
，得
取x'=1，得平面DMN的法向量=（1，2，4），
∴点B到平面DMN的距离为：d=