Question

已知直线l：2x+y+2=0与椭圆C：x²+=1交于A，B两点，P为C上的点，则使△PAB的面积S为的点P的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

Answer

设出P1的坐标，表示出四边形P1AOB面积S利用两角和公式整理后．利用三角函数的性质求得面积的最大值，进而求得△P1AB的最大值，利用-1＜判断出点P不可能在直线AB的下方，进而推断出在直线AB的上方有两个点P，得到正确的选项．
【解析】
设P1（cosα，2sinα）（π＜α＜），即点P1在第三象限的椭圆上，
考虑四边形P1AOB面积S，
可得：S=S△OAP1+S△OBP1=×1×（-2sinα）+×2×（-cosα）=-（sinα+cosα）=-sin（α+），
∴Smax=，
∵S△OAB=×1×2=1为定值，
∴S△P1AB的最大值为-1＜，
∴点P不可能在直线AB的下方，显然在直线AB的上方有两个点P．
故选C