Question

如图所示四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥CD，BC∥AD，PA=AB=BC=2，AD=4．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）求证：CD⊥平面PAC；
（3）在棱PC上是否存在点M（异于点C），使得BM∥平面PAD，若存在，求的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）利用四边形ABCD是直角梯形，求出SABCD，通过PA⊥ABCD底面ABCD，然后求解VP-ABCD．
（2）证明PA⊥CD，AC⊥CD，通过PA∩AC=A，证明CD⊥PAC
（3）用反证法证明，假设存在点M（异于点C）使得BM∥平面PAD．证明平面PBC∥平面PAD与平面PBC与平面PAD相交，得出矛盾．
【解析】
（1）显然四边形ABCD是直角梯形，
SABCD=（BC+AD）×AB=×（2+4）×2=6
又PA⊥ABCD底面ABCD
∴VP-ABCD=•PA=×6×2=4
（2）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD
在直角梯形ABCD中，AC==2，
CD=2，∴AC2+CD2=AD2，即AC⊥CD
又∵PA∩AC=A，
∴CD⊥PAC
（3）不存在，下面用反证法进行证明
假设存在点M（异于点C）使得BM∥平面PAD．
∵BC∥AD，且BC⊄平面PAD，
AD⊂平面PAD，
∴BC∥平面PAD
又∵BC∩BM=B，
∴平面PBC∥平面PAD
而平面PBC与平面PAD相交，
得出矛盾．