Question

某种产品每件成本为6元，每件售价为x元（x＞6），年销量为u万件，若已知与成正比，且售价为10元时，年销量为28万件．
（1）求年销售利润y关于x的函数关系式．
（2）求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．

Answer

（1）根据题中条件：“若已知与成正比”可设，再依据售价为10元时，年销量为28万件求得k值，从而得出年销售利润y关于x的函数关系式．
（2）利用导数研究函数的最值，先求出y的导数，根据y′＞0求得的区间是单调增区间，y′＜0求得的区间是单调减区间，从而求出极值进而得出最值即可．
【解析】
（1）设，
∵售价为10元时，年销量为28万件；
∴，解得k=2．
∴=-2x2+21x+18．
∴y=（-2x2+21x+18）（x-6）=-2x3+33x2-108x-108．
（2）y'=-6x2+66x-108=-6（x2-11x+18）=-6（x-2）（x-9）
令y'=0得x=2（∵x＞6，舍去）或x=9
显然，当x∈（6，9）时，y'＞0当x∈（9，+∞）时，y'＜0
∴函数y=-2x3+33x2-108x-108在（6，9）上是关于x的增函数；
在（9，+∞）上是关于x的减函数．
∴当x=9时，y取最大值，且ymax=135．
∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．