Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC为正三角形，侧面ACC₁A₁是的菱形，且侧面ACC₁A₁⊥底面ABC，D为AC的中点．
（1）求证：平面A₁BD⊥平面ACC₁A₁；
（2）若点E为AA₁上的一点，当CE⊥BB₁时，求二面角A-EC-B的正切值．

Answer

（1）先证明AC⊥平面A1BD，再利用面面垂直的判定，证明平面A1BD⊥平面ACC1A1；
（2）证明BD⊥平面ACE，过点D作DF⊥CE，垂足为F，连接BF，则可得∠BFD为二面角A-EC-B的平面角，求出BD、DF的长，即可求得tan∠BFD的值．
（1）证明：∵底面ABC为正三角形，侧面ACC1A1是的菱形，D为AC的中点
∴AC⊥A1D，AC⊥BD
∴A1D∩BD=D
∴AC⊥平面A1BD
∵AC⊂平面ACC1A1，
∴平面A1BD⊥平面ACC1A1；
（2）【解析】
∵AA1∥BB1，CE⊥BB1，∴CE⊥AA1，
∴E为AA1的中点
∵BD⊥AC，∴BD⊥平面ACE
过点D作DF⊥CE，垂足为F，连接BF，则BF⊥CE，所以∠BFD为二面角A-EC-B的平面角
∵DF⊥CE，∴DF=
设AB=a，则BD=，DF==
∴tan∠BFD==2