Question

已知函数f（x）=x+ln（1-x），e为自然对数的底数．
（1）若x＜1时，恒有f（x）+m≤0成立，求实数m的取值范围；
（2）若n≥2，n∈N^*，证明．

Answer

（1）确定函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数的最大值，x＜1时，恒有f（x）+m≤0成立，等价于x＜1时，恒有m≤-f（x）成立，由此可求实数m的取值范围；
（2）由（1）得，当x≤0时，恒有f（x）≤0，即ln（1-x）≤-x，由此进行放缩，裂项，即可证得结论．
（1）【解析】
函数的定义域为（-∞，1），求导函数可得：
令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞1，∵x＜1，∴x＜0；
令f′（x）＜0，可得0＜x＜1，∵x＜1，∴0＜x＜1
∴f（x）在（-∞，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减
∴f（x）max=f（0）=0
∵x＜1时，恒有f（x）+m≤0成立，
∴x＜1时，恒有m≤-f（x）成立，
∴m≤0
∴实数m的取值范围是（-∞，0]；
（2）证明：由（1）得，当x≤0时，恒有f（x）≤0，即ln（1-x）≤-x
∴ln[]=
≤==1-＜1
∴．