Question

已知函数f（x）=xlnx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数在[1，e]上是最小值为，求a的值．

Answer

（1）求导函数，由导数的正负，可得函数的单调区间；
（2），对a结合在[1，e]上是最小值为，分类讨论，建立等式，从而可得结论．
【解析】
（1）求导函数可得f′（x）=lnx+1（x＞0）
令f′（x）＞0，可得x＞；f′（x）＜0，可得0＜x＜；
∴函数的单调递增区间为（，+∞），单调递减区间为（0，）．…（5分）
（2）．
当a≥0时，F′（x）＞0，F（x）在[1，e]上单调递增，∴F（x）min=-a=，∴a=-，舍去       …（7分）
当a＜0时，F（x）在（0，-a）单调递减，在（-a，+∞）单调递增
若a∈（-1，0），F（x）在[1，e]上单调递增，，∴F（x）min=-a=，∴a=-，舍去                     …（9分）
若a∈[-e，-1]，F（x）在（1，-a）单调递减，在（-a，e）单调递增，
∴F（x）min=F（-a）=ln（-a）+1=，∴a=-，符合题意
若a∈（-∞，-e），F（x）在[1，e]上单调递减，舍去   …（11分）
综上所述：a=-…（12分）