Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，AC⊥BC，E、F分别在线段B₁C₁和AC上，B₁E=3EC₁，AC=BC=CC₁=4．
（Ⅰ）求证：BC⊥AC₁；
（Ⅱ）若F为线段AC的中点，求三棱锥A-C₁EF的体积；
（Ⅲ）试探究满足EF∥平面A₁ABB₁的点F的位置，并给出证明．

Answer

（Ⅰ）由AA1⊥面ABC，利用线面垂直的性质定理得到BC⊥AA1，又BC⊥AC，AA1，再根据线面垂直的判定定理得到BC⊥面AA1C1C，最后根据线面垂直的性质即可得出结论；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知可得C1E⊥面AC1F，将三棱锥A-C1EF的体积转化为三棱锥E-C1AF的体积进行求解即得；
（Ⅲ）解法一：当AF=3FC时，FE∥平面A1ABB1．理由如下：在平面A1B1C1内过E作EG∥A1C1交A1B1于G，连接AG，先证出EF∥AG，再利用线面平行的判定定理证得EF∥平面A1ABB1即可；
解法二：当AF=3FC时，FE∥平面A1ABB1，理由如下：在平面ABC内过E作EG∥BB1交BC于G，连接FG．利用面面平行的判定定理得到平面EFG∥平面A1ABB1，再根据面面平行的性质即可得到EF∥平面A1ABB1．
证明：（Ⅰ）∵AA1⊥面ABC，BC⊂面ABC，∴BC⊥AA1．…（1分）
又∵BC⊥AC，AA1，AC⊂面AA1C1C，AA1∩AC=A，∴BC⊥面AA1C1C，…（3分）
又AC1⊂面AA1C1C，∴BC⊥AC1．…（4分）
（Ⅱ）【解析】
∵B1C1∥BC，由（Ⅰ）知BC⊥面AA1C1C，
∴C1E⊥面AC1F，…（6分）∴．…（8分）
（Ⅲ）解法一：当AF=3FC时，FE∥平面A1ABB1．…（9分）
理由如下：在平面A1B1C1内过E作EG∥A1C1交A1B1于G，连接AG．∵B1E=3EC1，∴，
又AF∥A1C1且，
∴AF∥EG且AF=EG，
∴四边形AFEG为平行四边形，∴EF∥AG，…（11分）
又EF⊄面A1ABB1，AG⊂面A1ABB1，
∴EF∥平面A1ABB1．…（12分）
解法二：当AF=3FC时，FE∥平面A1ABB1．…（9分）
理由如下：在平面ABC内过E作EG∥BB1交BC于G，连接FG．
∵EG∥BB1，EG⊄面A1ABB1，BB1⊂面A1ABB1，
∴EG∥平面A1ABB1．
∵B1E=3EC1，∴BG=3GC，
∴FG∥AB，又AB⊂面A1ABB1，FG⊄面A1ABB1，∴FG∥平面A1ABB1．
又EG⊂面EFG，FG⊂面EFG，EG∩FG=G，
∴平面EFG∥平面A1ABB1．…（11分）
∵EF⊂面EFG，∴EF∥平面A1ABB1．…（12分）．