Question

已知函数的图象与x轴相切于点S（s，0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象与过坐标原点O的直线l相切于点T（t，f（t）），且f（t）≠0，证明：1＜t＜e；（注：e是自然对数的底）

Answer

（Ⅰ）求导函数，利用函数的图象与x轴相切于点S（s，0），建立方程，可求函数的解析式；
（Ⅱ）由切线过点T（t，f（t））得到关于实数t的方程，将问题转化为函数的零点区间判定问题，排除零点在区间内是该题的一个难点（在（Ⅰ）的启发下，想到是区间内的唯一零点，但因而排除）．
（Ⅰ）【解析】
由，得．…（1分）
∵函数的图象与x轴相切于点S（s，0），
∴，…①且f（s）=…．②…（2分）
联立①②得c=e，．…（3分）
∴．…（4分）
（Ⅱ）证明：求导函数得．
∵函数的图象与直线l相切于点T（t，f（t）），直线l过坐标原点O，
∴直线l的方程为：，
又∵T在直线l上，∴实数t必为方程…．③的解．…（5分）
令，则，
解g′（t）＞0得，g′（t）＜0得．
∴函数y=g（t）在递减，在递增．…（7分）
∵，且函数y=g（t）在递减，
∴是方程在区间内的唯一一个解，
又∵，∴不合题意，即．…（8分）
∵g（1）=2-e＜0，，函数y=g（t）在递增，
∴必有1＜t＜e．…（10分）