Question

已知函数f（x）=+ln
（1）求函数f（x）的定义域和极值；
（2）若函数f（x）在区间[a²-5a，8-3a]上为增函数，求实数a的取值范围；
（3）函数f（x）的图象是否为中心对称图形？若是请指出对称中心，并证明；若不是，请说明理由．

Answer

（1）确定函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数的极值；
（2）利用（1）中的增区间，建立不等式，即可求实数a的取值范围；
（3）由（1）知函数f（x）的图象若是中心对称图形，则中心一定在两极值点的中心（3，），设（x，y）是函数f（x）的图象上的任意一点，则是它关于（3，）的对称点，证明也在函数f（x）的图象上即可．
【解析】
（1）由题意，，解得x＜2或x＞4
∴函数f（x）的定义域为（-∞，2）∪（4，+∞），
由得：x=0或x=6，所以

x （-∞，0） （0，2） （4，6） 6 （6，+∞）
f′（x） + - - +
f（x） ↗ 极大值 ↘ ↘ 极小值 ↗

∴
（2）由（1）知a2-5a＜8-3a≤0或6≤a2-5a＜8-3a，所以或-2＜a≤-1
（3）由（1）知函数f（x）的图象若是中心对称图形，则中心一定在两极值点的中心（3，），下面证明：
设（x，y）是函数f（x）的图象上的任意一点，则是它关于（3，）的对称点，而，即也在函数f（x）的图象上．
所以函数f（x）的图象是中心对称图形，其中心是（3，）．