Question

已知数列{a_n}，a₁=2a+1（a≠-1的常数），a_n=2a_n-1+n²-4n+2（n≥2，n∈N^∗），数列{b_n}的首项，b₁=a，b_n=a_n+n²（n≥2，n∈N^∗）．
（1）证明：{b_n}从第2项起是以2为公比的等比数列并求{b_n}通项公式；
（2）设S_n为数列{b_n}的前n项和，且{S_n}是等比数列，求实数a的值；
（3）当a＞0时，求数列{a_n}的最小项．

Answer

（1）由题意可得，=（n≥2）及b2=a2+4=4a+4，可证{bn}从第2项起的等比数列，结合等比数列的通项公式可求；
（2）由（1）可求Sn，结合{Sn}是等比数列，及等比数列的特点可求a；
（3）由n≥2时，，可求an=，可得数列{an}的项为2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，显然最小项是前三项中的一项，结合a的范围可求最小项．
【解析】
由题意可得，
=（n≥2）
b2=a2+4=4a+4，
∵a≠-1，b2≠0，即{bn}从第2项起是以2为公比的等比数列
∴=（a+1）•2n（n≥2）
∴
（2）由（1）求得
∵{Sn}是等比数列，
∴3a+4=0，即．
（3）由已知当n≥2时，，
∴an=
所以数列{an}为2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，显然最小项是前三项中的一项．
当时，最小项为8a-1； 
当时，最小项为4a；
当时，最小项为2a+1．
当时，最小项为4a或8a-1
当时，最小项为4a或2a+1；