Question

已知函数f（x）=x-（1+a）lnx在x=1时，存在极值．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）证明：当x＞1时，＜lnx．

Answer

（I）对函数求导数，得f'（x）=1-，根据函数在极值点处导数值为零列式，解之得a=0；
（II）原不等式等价于（x+1）lnx-2x+2＞0．因此构造函数F（x）=（x+1）lnx-2x+2，通过研究F'（x）的单调性，得到F'（x）是（1，+∞）上的增函数，从而得到F'（x）＞F'（1）=0在区间（1，+∞）上恒成立，得F（x）是（1，+∞）上的增函数，得F（x）＞F（1）=0，从而证出原不等式成立．
【解析】
（I）对函数求导数，得f'（x）=1-
∵在x=1时，函数存在极值．
∴f'（1）=1-=-a=0，可得a=0；
（II）当x＞1时，，＜lnx等价于（x+1）lnx-2x+2＞0…（*）
设F（x）=（x+1）lnx-2x+2，得F'（x）=+lnx-1
再设G（x）=+lnx-1，得G'（x）=-+=
∵x＞1，∴G'（x）=＞0，得G（x）是（1，+∞）上的增函数
因此G（x）＞G（1）=0，即F'（x）＞0区间（1，+∞）上恒成立
∴F（x）=（x+1）lnx-2x+2是（1，+∞）上的增函数，得F（x）＞F（1）=0
因此，不等式（*）在区间（1，+∞）上恒成立，即当x＞1时，＜lnx恒成立．