Question

对正整数n，设曲线y=xⁿ（1-x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a_n．
（i）a_n=    ；
（ii）数列的前n项和S_n=    ．

Answer

（i）求出在x=2处的切线方程，进而得到切线与y轴交点的纵坐标；
（ii）数列{}是等比数列，利用等比数列的求和公式计算，从而问题解决．
【解析】
（i）求导函数可得y'=nxn-1-（n+1）xn，
曲线y=xn（1-x）在x=2处的切线的斜率为k=n×2n-1-（n+1）×2n
∵切点为（2，-2n），
∴切线方程为y+2n=k（x-2），
令x=0，并将k代入可得an=（n+1）2n，
（ii）令bn==2n．
∴数列{}的前n项和为2+22+23+…+2n==2n+1-2．
故答案为：（n+1）2n，2n+1-2．