Question

已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos²x-1（x∈R）
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若f（x）=，x∈[，]，求cos2x的值．

Answer

先将原函数化简为y=Asin（ωx+φ）+b的形式
（1）根据周期等于2π除以ω可得答案，又根据函数图象和性质可得在区间[0，]上的最值．
（2）将x代入化简后的函数解析式可得到sin（2x+）=，再根据x的范围可求出cos（2x+）的值，
最后由cos2x=cos（2x+）可得答案．
【解析】
（1）由f（x）=2sinxcosx+2cos2x-1，得
f（x）=（2sinxcosx）+（2cos2x）-1）=sin2x+cos2x=2sin（2x+）
所以函数f（x）的最小正周期为π．
因为f（x）=2sin（2x+）在区间[0，]上为增函数，在区间[，]上为减函数，
又f（0）=1，f（）=2，f（）=-1，所以函数f（x）在区间[0，]上的最大值为2，最小值为-1．
（Ⅱ）由（1）可知f（x）=2sin（2x+）
又因为f（x）=，所以sin（2x+）=
由x∈[，]，得2x+∈[，]
从而cos（2x+）=-=-．
所以
cos2x=cos[（2x+）-]=cos（2x+）cos+sin（2x+）sin=．