Question

已知函数f（x）=x³-ax-b （a，b∈R）
（1）当a=b=1时，求函数f（x）的单调区间
（2）是否存在a，b，使得对任意的x∈[0，1]成立？若存在，求出a，b的值，若不存在，说明理由．

Answer

（1）f（x）=x3-x-1，先求其导函数f′（x）=3x2-1，由f′（x）＞0，得单调递增区间；由f′（x）＜0，得函数f（x）的单调递减区间；
（2）假设存在这样的a，b，使得对任意的x∈[0，1]成立，则①，两式相加可得0＜＜3，所以函数f（x）在区间[]递减，在区间[]递增，
从而由此可得．因而可求出a=1，，使得对任意的x∈[0，1]成立．
【解析】
（1）f（x）=x3-x-1，f′（x）=3x2-1=0，x=，
x∈（）或x∈（）时f′（x）＞0，
x∈（）时f'（x）＜0，所以函数f（x）的单调递增区间为
（）和（），函数f（x）的单调递减区间为（）（5分）
（2）假设存在这样的a，b，使得对任意的x∈[0，1]成立，则①，两式相加可得0＜＜3，
所以函数f（x）在区间[]递减，在区间[]递增，
所以②，
由不等式组中的第二式加第三式可得，
由不等式组中的第一式加第三式可得．       （10分）
记，，a=3，
又，在为减函数，
又，所以，所以，
所以a=1，代入②式可得，所以存在a=1，，
使得对任意的x∈[0，1]成立．          （16分）