Question

如图所示，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，BC=2，CC₁=5，M为棱CC₁上一点．
（1）若，求异面直线A₁M和C₁D₁所成角的正切值；
（2）若C₁M=1，试证明：BM⊥平面A₁B₁M．

Answer

（1）连接A1M、B1M，根据A1B1∥C1D1，得∠B1A1M或其补角即为异面直线A1M和C1D1所成角．Rt△A1B1M中，求出B1M的长，结合直角三角形中三角函数定义，算出tan∠B1A1M=，即为异面直线A1M和C1D1所成角的正切值；
（2）矩形BB1C1C中，根据Rt△B1C1M∽Rt△MCB，证出BM⊥B1M，再结合A1B1⊥BM和线面垂直的判定定理，即可得到BM⊥平面A1B1M．
【解析】
（1）连接A1M、B1M
∵长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1∥C1D1，
∴∠B1A1M或其补角即为异面直线A1M和C1D1所成角
∵A1B1⊥平面BB1C1C，B1M⊆平面BB1C1C，∴A1B1⊥B1M
Rt△B1C1M中，B1M==
∴Rt△A1B1M中，tan∠B1A1M==
即异面直线A1M和C1D1所成角的正切值等于；
（2）∵Rt△B1C1M中，C1M=1，B1C1=2且Rt△BCM中，CM=4，BC=2
∴，结合∠MC1B1=∠BCM=90°
∴Rt△B1C1M∽Rt△MCB，可得∠BMC=∠MB1C1=90°-∠B1MC1．
∴∠BMC+∠B1MC1=90°，得BM⊥B1M
又∵A1B1⊥平面BB1C1C，BM⊆平面BB1C1C，∴A1B1⊥BM
∵A1B1、B1M是平面A1B1M内的相交直线
∴BM⊥平面A1B1M．