Question

若函数f（x）定义域为R，满足对任意x₁，x₂∈R，有f（x₁+x₂）≤f（x₁）+f（x₂），则称f（x）为“V形函数”．
（1）当f（x）=x²时，判断f（x）是否为V形函数，并说明理由；
（2）当f（x）=lg（x²+2）时，证明：f（x）是V形函数；
（3）当f（x）=lg（2^x+a）时，若f（x）为V形函数，求实数a的取值范围．

Answer

（1）当x1，x2同号时，f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2），不满足V形函数的定义，可判定；
（2）利用对数的运算性质进行化简整理，然后根据V形函数的定义判定即可；
（3）根据V形函数的定义建立不等关系，转化成a（2x1+x2）+a2-a≥0对任意x1，x2∈R恒成立，然后讨论a的符号，解之即可．
【解析】
（1）当f（x）=x2时，f（x1+x2）=x12+x22+2x1x2，f（x1）+f（x2）=x12+x22，
当x1，x2同号时，f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2），不满足V形函数的定义，
故当f（x）=x2时，f（x）不是V形函数；
（2）当f（x）=lg（x2+2）时f（x1+x2）=lg[（x1+x2）2+2]=lg（x12+x22+2x1x2+2），
f（x1）+f（x2）=lg（x12+2）+lg（x22+2）=lg[2（x12+x22）+x12x22+4]
∴满足对任意x1，x2∈R，有f（x1+x2）≤f（x1）+f（x2），则f（x）=lg（x2+2）为“V形函数”．
（3）当f（x）=lg（2x+a）时，若f（x）为V形函数
则f（x1+x2）≤f（x1）+f（x2），
即lg（2x1+x2+a）≤lg（2x1+a）+lg（2x2+a）=lg[2x1+x2+a（2x1+x2）+a2]
∴a（2x1+x2）+a2-a≥0对任意x1，x2∈R恒成立
当a=0时，成立，当a＜0时不成立，当a＞0时，a≥（1-2x1+x2）max
∴a≥1或a=0