Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=a，．
（1）设，求数列{b_n}的通项公式；
（2）若对于一切n∈N^*，都有a_n+1≥a_n恒成立，求a的取值范围．

Answer

（1）依题意，Sn+1-Sn=an+1=2Sn+4n，即Sn+1=3Sn+4n，设，则，从而可得bn+1=3bn，由此可求数列{bn}的通项公式；
（2）由①知Sn=4n+（a-4）×3n-1，从而可得数列的通项，作差，利用an+1≥an恒成立，即可求a的取值范围．
【解析】
（1）依题意，Sn+1-Sn=an+1=2Sn+4n，即Sn+1=3Sn+4n，
设，则
∴bn+1=3bn，
∵b1=S1-4=a-4
∴数列{bn}的通项公式为bn=（a-4）×3n-1，n∈N*．①（6分）
（2）由①知Sn=4n+（a-4）×3n-1，
于是，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=4n+（a-4）×3n-1-[4n-1+（a-4）×3n-2]=3×4n-1+2（a-4）3n-2，
an+1-an=9×4n-1+4（a-4）×3n-2，
当n≥2时，an+1≥an等价于9×4n-1+4（a-4）×3n-2≥0
∴36×+4（a-4）≥0
∴a≥-5．
综上，所求的a的取值范围是[-9，+∞）．（12分）