Question

已知数列有a₁=a，a₂=p（常数p＞0），对任意的正整数n，S_n=a₁+a₂+…+a_n，并有S_n满足．
（Ⅰ）求a的值并证明数列为等差数列；
（Ⅱ）令，是否存在正整数M，使不等式p₁+p₂+…+p_n-2n≤M恒成立，若存在，求出M的最小值，若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）n=1代入数列递推式，可得a的值；由a1=0得，则，两式相减，并整理，可得（n-1）an+1=nan，再写一式nan+2=（n+1）an+1，两式相减，可得an+2-an+1=an+1-an，从而可得结论；
（Ⅱ）先表示出Pn，再利用裂项法求和，即可求得最小的正整数．
【解析】
（Ⅰ）由已知，得，∴a=0…．（2分）
由a1=0得，则，
∴2（Sn+1-Sn）=（n+1）an+1-nan，即2an+1=（n+1）an+1-nan，
于是有（n-1）an+1=nan，并且nan+2=（n+1）an+1，
∴nan+2-（n-1）an+1=（n+1）an+1-nan，即n（an+2-an+1）=n（an+1-an）
则有an+2-an+1=an+1-an，
∴{an}为等差数列；…．（7分）
（Ⅱ）∵，∴
∴=；由n是整数可得P1+P2+P3+…+Pn-2n＜3，
故存在最小的正整数M=3，使不等式P1+P2+P3+…+Pn-2n≤M恒成立…．（12分）