Question

在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁⊥面ABC，，A₁C=CA=AB=a，AB⊥AC，D为AA₁中点．
（1）求证：CD⊥面ABB₁A₁；
（2）在侧棱BB₁上确定一点E，使得二面角E-A₁C₁-A的大小为．

Answer

（1）由已知中侧面ACC1A1⊥面ABC，AB⊥AC，由面面垂直的性质定理可得AB⊥面ACC1A1，进而AB⊥CD，由AC=A1C，D为AA1中点，根据等腰三角形“三线合一”可得CD⊥AA1，结合线面垂直的判定定理可得CD⊥面ABB1A1；
（2）建立空间直角坐标系C-xyz，由，可得E点坐标为（（1-λ）a，a，λa）．求出面A1C1A地一个法向量和平面EA1C1地一个法向量，根据二面角E-A1C1-A的大小为，构造方程组，解出λ值后，可得E点的位置．
证明：（1）∵AB⊥AC，面ACC1A1⊥面ABC，∴AB⊥面ACC1A1，即有AB⊥CD；
又AC=A1C，D为AA1中点，则CD⊥AA1∴CD⊥面ABB1A1…（4分）
【解析】
（2）如图所示建立空间直角坐标系C-xyz，则有A（a，0，0），B（a，a，0），A1（0，0，a），B1（0，a，a）C1（-a，0，a），设E（x，y，z），且，即有（x-a，y-a，z）=λ（-a，0，a），
所以E点坐标为（（1-λ）a，a，λa）．…（7分）
由条件易得面A1C1A地一个法向量为，设平面EA1C1地一个法向量为，由可得
令y=1，则有，…（10分）
则，得
所以，当时，二面角E-A1C1-A的大小为…（12分）