Question

如图，平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=1，AD=2，∠ADC=60°，AF=．
（Ⅰ）求证：AC⊥BF；
（Ⅱ）求多面体ABCDEF的体积．

Answer

（I）在△ACD中利用余弦定理，计算出AD2=4=CD2+AC2，所以AC⊥CD，结合AB、CD互相平行，得AC⊥AB，再结合AC⊥AF，得到AC⊥平面ABF，从而有AC⊥BF；
（II）根据题意，可得多面体ABCDEF的体积是四棱锥D-ACEF体积的2倍，由面面垂直的性质可得DC为四棱锥D-ACEF的高，根据锥体体积公式算出四棱锥D-ACEF体积，即可得到多面体ABCDEF的体积．
解（Ⅰ）∵AB=1，AD=2，∠ADC=60°，
∴由余弦定理，得AC2=CD2+AD2+CD•ADcos60°=3
于是 AD2=4=CD2+AC2，∴AC⊥CD，
∵AB∥CD，∴AC⊥AB…（2分）
又∵四边形ACEF是矩形，∴AC⊥AF
∵AB∩AF=A，AB、AF⊆平面ABF
∴AC⊥平面ABF
又∵BF⊆平面ABF，∴AC⊥BF；（6分）
（Ⅱ）令多面体ABCDEF的体积为V，
∴V=VD-ACEF+VB-ACEF=2VD-ACEF …（8分）
又∵平面ABCD⊥平面ACEF，平面ABCD∩平面ACEF=AC，DC⊥AC，
∴DC⊥平面ACEF，可得DC为四棱锥D-ACEF的高，…（10分）
∵S矩形ACEF=×=，∴VD-ACEF=××1=
∴V=2VD-ACEF=，即多面体ABCDEF的体积为．…（12分）