Question

在等比数列{a_n}中，a_n＞0（n∈N₊），公比q∈（0，1），且a₃a₅+2a₄a₆+a₃a₉=100，又4是a₄与a₆的等比中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₂a_n，求数列{|b_n|}的前n项和S_n．

Answer

（I） 因为a3a5+2a4a6+a3a9=100，所以（a4+a6）2=100，由an＞0，得a4+a6=10，由4为a4与a6的等比中项，得a4•a6=16，由此能求出数列{an}的通项公式．
（II）由bn=log2an=7-n，得{bn}的前n项和Tn=，由此能求出数列{|bn|}的前n项和Sn．
【解析】
（I）因为a3a5+2a4a6+a3a9=100，即，
∴（a4+a6）2=100，
又∵an＞0，∴a4+a6=10，…（2分）
又∵4为a4与a6的等比中项，∴a4•a6=16，…（3分）
∴a4，a6是方程x2-10x+16=0的两个根，
而q∈（0，1），∴a4＞a6，∴a4=8，a6=2，…（4分）
∴，解得，
∴=27-n．…（6分）
（II）bn=log2an=7-n，
则{bn}的前n项和Tn=，
∴当1≤n≤7时，bn≥0，∴，…（8分）
当n≥8时，bn≤0，Sn=b1+b2+…+b7-（b8+b9+…+bn） …（10分）
=-（b1+b2+…+bn）+2（b1+b2+…+b7）
=-
=，
∴．…（13分）