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已知单调递增的等比数列{an}满足:a2+a3+a4=28,且a3+2是a2和a...

已知单调递增的等比数列{an}满足:a2+a3+a4=28,且a3+2是a2和a4的等差中项.
(Ⅰ)求数列an的通项公式{an};
(Ⅱ)令manfen5.com 满分网,Sn=b1+b2+…+bn,求使Sn+n•2n+1>50成立的最小的正整数n.
(Ⅰ)设出等比数列{an}的公比为q,根据等比数列的通项公式及等差数列的性质分别化简已知的两条件,得到一个方程组,化简后即可求出a1和q的值,写出数列an的通项公式即可; (Ⅱ)把(Ⅰ)求出的数列an的通项公式代入,利用对数函数的性质化简,确定出bn的通项公式,列举出数列{bn}各项的和的相反数设为Tn,记作①,两边乘以2得到另一个关系式,记作②,①-②即可求出-Tn,即为Sn,把求出的Sn代入已知的不等式中化简,即可求出满足题意的最小的正整数n的值. 【解析】 (Ⅰ)设an的公比为q,由已知, 得⇒⇒⇒, ∴an=a1qn-1=2n;(5分) (Ⅱ), 设Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n,① 则2Tn=1×22+2×23+…+(n-1)×2n+n×2n+1,② ①-②得:-Tn=(2+22+…+2n)-n×2n+1=-(n-1)×2n+1-2, ∴Sn=-Tn=-(n-1)×2n+1-2(10分) 故Sn+n•2n+1>50⇔-(n-1)×2n+1-2+n×2n+1>50, ⇒2n>26, ∴满足不等式的最小的正整数n为5.(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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