Question

一次考试共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的．评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”．某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中：有两道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜．请求出该考生：
（1）得60分的概率；
（2）所得分数ξ的分布列和数学期望．

Answer

（1）设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选对的为事件A，“有一道题可判断一个选项是错误”选对的为事件B，“有一道题不理解题意”选对的为事件C，由P（A）=，P（B）=，P（C）=，能求出得60分的概率．
（2）ξ可能的取值为40，45，50，55，60，分别求出P（ξ=40），P（ξ=45），P（ξ=50），P（ξ=55）和P（ξ=60），由此能求出ξ的分布列和Eξ．
【解析】
（1）设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选对的为事件A，
“有一道题可判断一个选项是错误”选对的为事件B，
“有一道题不理解题意”选对的为事件C，
∴P（A）=，P（B）=，P（C）=，
∴得60分的概率为p=．…（4分）
（2）ξ可能的取值为40，45，50，55，60…（5分）
P（ξ=40）=；…（6分）
P（ξ=45）=
…（7分）
P（ξ=50）=×××+C12×××；…（8分）
P（ξ=55）=C12×××=…（9分）
P（ξ=60）=，
∴ξ的分布列：

ξ 40 45 50 55 60
P（ξ）

…（10分）
Eξ=40×+（45+50）×+55×+60×=…（12分）