Question

若函数f（x）定义域为R，满足对任意x₁，x₂∈R，有f（x₁+x₂）≤f（x₁）+f（x₂），则称f（x）为“V形函数”；若函数g（x）定义域为R，g（x）恒大于0，且对任意x₁，x₂∈R，有lgg（x₁+x₂）≤lgg（x₁）+lgg（x₂），则称g（x）为“对数V形函数”．
（1）当f（x）=x²时，判断f（x）是否为V形函数，并说明理由；
（2）当g（x）=x²+2时，证明：g（x）是对数V形函数；
（3）若f（x）是V形函数，且满足对任意x∈R，有f（x）≥2，问f（x）是否为对数V形函数？证明你的结论．

Answer

（1）由f（x1+x2）-[f（x1）+f（x2）]=（x1+x2）2-（+）=2x1x2，可得2x1x2符号不定，从而可得结论；
（2）利用反证法证明．假设对任意x1，x2∈R，有lgg（x1+x2）≤lgg（x1）+lgg（x2），则可得（x1+x2）2+2≤（x12+2）（x22+2），即证x12x22+（x1-x2）2+2≥0，显然成立；
（3）f（x）是对数V形函数，根据f（x）是V形函数，利用对任意x∈R，有f（x）≥2，证明f（x1+x2）≤f（x1）f（x2），从而可得f（x）是对数V形函数．
（1）【解析】
f（x1+x2）-[f（x1）+f（x2）]=（x1+x2）2-（+）=2x1x2
∵x1，x2∈R，∴2x1x2符号不定，∴当2x1x2≤0时，f（x）是V形函数；当2x1x2＞0时，f（x）不是V形函数；
（2）证明：假设对任意x1，x2∈R，有lgg（x1+x2）≤lgg（x1）+lgg（x2），
则lgg（x1+x2）-lgg（x1）-lgg（x2）=lg[（x1+x2）2+2]-lg（x12+2）-lg（x22+2）≤0，
∴（x1+x2）2+2≤（x12+2）（x22+2），
∴x12x22+（x1-x2）2+2≥0，显然成立，
∴假设正确，g（x）是对数V形函数；
（3）【解析】
f（x）是对数V形函数
证明：∵f（x）是V形函数，∴对任意x1，x2∈R，有f（x1+x2）≤f（x1）+f（x2），
∵对任意x∈R，有f（x）≥2，∴+≤1，∴0＜f（x1）+f（x2）≤f（x1）f（x2），
∴f（x1+x2）≤f（x1）f（x2），
∴lgf（x1+x2）≤lgf（x1）+lgf（x2），
∴f（x）是对数V形函数．