Question

从正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的顶点和各棱的中点中任取两点边成直线，要求所得直线与AC₁垂直，则这样的直线共有     条．

Answer

先根据线面垂直的判定与性质，证出AC1⊥平面A1BD，这样得到：平面A1BD内的直线和平行于平面A1BD的平面内的直线都与AC1垂直．由此寻找与平面A1BD平行的平面，再从中找到直线与AC1垂直，不难找到符合题意的直线的条数．
【解析】
∵AA1⊥平面ABCD，BD⊆平面ABCD，
∴AA1⊥BD
又∵正方形ABCD中，AC⊥BD，且AA1、AC是平面AA1C1C内的相交直线
∴BD⊥平面AA1C1C，
∵AC1⊆平面AA1C1C，∴BD⊥AC1，
同理可得BA1⊥AC1，结合线面垂直的判定定理，得AC1⊥平面A1BD
因此，平面A1BD内的直线都与AC1垂直，
并且平行于平面A1BD的平面都与AC1垂直，该平面内的直线都与AC1垂直，
这样，在△A1BD中有三条直线与AC1垂直，在△B1D1C中有三条直线与AC1垂直，在△IJK中有三条直线与AC1垂直，
在△RST中有三条直线与AC1垂直，共有3×4=12条直线与AC1垂直
而在六边形LMNOPQ中，任意两点的连线都AC1垂直，共=15条直线与AC1垂直
综上所述，正方体顶点和各棱的中点中任取两点连成直线，与AC1垂直的直线共12+15=27条
故答案为：27