Question

已知曲线f（x）=x³-x²+bx+c（a≥0）在x=0处的切线方程y=1．
（1）求实数b，c的值；
（2）若过点（0，2）可作曲线y=f（x）的三条不同的切线，求a的取值范围．

Answer

（1）利用曲线f（x）=x3-x2+bx+c（a≥0）在x=0处的切线方程y=1，列出方程解出a、b、c，从而确定解析式；
（2）构建函数，利用导数求出函数的极大值和极小值，数形结合解决．
【解析】
（1）求导函数可得f′（x）=x2-ax+b，
∵曲线f（x）=x3-x2+bx+c（a≥0）在x=0处的切线方程y=1，
∴f′（0）=b=0，f（0）=c=1
∴b=0，c=1；
（2）由题意f′（x）=x2-ax．由于点（t，f（t））处的切线方程为y-f（t）=f'（t）（x-t），而点（0，2）在切线上，所以2-f（t）=f'（t）（-t），所以=0
设g（t）=，则
过点（0，2）可作y=f（x）的三条切线，等价于方程2-f（t）=f'（t）（0-t）有三个相异的实根，即等价于方程
=0有三个相异的实根由于a＞0，故有

由g（t）的单调性知：要使g（t）=0有三个相异的实根，则g（）=-+1＜0
∴a．