Question

已知椭圆C：（a＞b＞0）过点A（），离心率为，斜率为k（k≠0）的直线l经过椭圆的上焦点F且与椭圆交于P、Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴交于点M（0，m），与x轴交于点N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求m的取值范围；
（3）记△MPQ，△NMF的面积分别为S₁、S₂，若S₁=6S₂，求直线l的方程．

Answer

（1）由题意椭圆C：（a＞b＞0）过点A（），离心率为，建立方程组，即可求得椭圆C的方程；
（2）设l的方程为y=kx+1，代入椭圆方程，确定PQ的方程，令x=0可得m=，从而可求m的取值范围；
（3）求出，M（0，），利用韦达定理求出|x1-x2|，进而表示出面积，利用S1=6S2，建立方程，即可求得直线的方程．
【解析】
（1）由题意可得，∴a=，b=1，c=1
∴椭圆C的方程为；
（2）设l的方程为y=kx+1，代入椭圆方程可得（2+k2）x2+2kx-1=0
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=-，y1+y2=
∴PQ的中点坐标为（-，）
∴PQ的方程为①
令x=0可得m=，∴M（0，）
∵k≠0，∴m∈（0，）；
（3）在①中，令y=0可得：x=，∴
由（2）得，M（0，），|x1-x2|==
∴|x1-x2|=
=
∵S1=6S2
∴=
∴
∴k=±
∴l的方程为y=±x+1．