Question

抛物线y²=x的准线方程为    ；经过此抛物线的焦点和点M（1，1），且与准线相切的圆共有    个．

Answer

根据抛物线方程y2=x，不难得到它的焦点坐标和准线方程．根据平面几何性质，满足条件圆的圆心C既在线段FM垂直平分线上，又在抛物线上．由此确定FM垂直平分线与抛物线交点的个数，即得满足条件的圆的个数．
【解析】
∵抛物线方程为y2=x，
∴抛物线开口向右，2p=1，得=
因此，抛物线的准线方程为，焦点坐标为F（，0）
设过抛物线的焦点F和点M（1，1）的圆的圆心为C
∵CF=CM，∴点C在线段FM垂直平分线上
又∵圆C与与抛物线准线相切
∴点C到准线的距离等于圆的半径CF，结合抛物线的定义，可得点C是抛物线上的点．
由以上的分析可得，点C是抛物线与FM垂直平分线的焦点
∵FM垂直平分线为：y=-x+1，与抛物线y2=x有两个不同的交点
∴存在两个不同的C点，使圆C与准线相切，即过F、M两点且与准线相切的圆共有2个
故答案为：2