Question

在正△ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点，满足，将△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，使二面角A₁-EF-B成直二面角，连接A₁B，A₁P．
（1）求证：A₁E⊥平面BEP；
（2）求直线A₁E与平面A₁BP所成角的大小．

Answer

（1）取BE的中点D，连接DF．说明∠A1EB为二面角A1-EF-B的平面角，证明二面角A1-EF-B为直二面角，证明A1E┴平面BEF，即可证明A1E⊥平面BEP；
（2）建立空间直角坐标系，求出，平面A1BP的法向量，利用，求直线A1E与平面A1BP所成角的大小．
【解析】
不妨设正三角形的边长为3．
（1）在图1中，取BE的中点D，连接DF．
∵，AF=AD=2，又∠A=60°，△ADF为正三角形．
又∵AE=ED=1，
∴EF┴AD，
∴在图2中有A1E┴EF，BE┴EF．
∴∠A1EB为二面角A1-EF-B的平面角．
∵二面角A1-EF-B为直二面角，
∴A1E┴BE
又∵BE∩EF=E，
∴即A1E┴平面BEF，即A1E┴平面BEP
（2）由（1）可知，A1E┴平面BEP，BE┴EF，建立坐标系则E（0，0，0），A1（0，0，1），（2，0，0），
F（0，，0），D（1，0，0），不难得出EF∥DP且EF=DP，DE∥EP且DE=FP．
故P点的坐标为（1，，0），
∴
设平面A1BP的法向量=（x，y，z），
则
∴．
∴
∴A1E与平面A1BP所成角的大小为．