Question

若对于正整数k，g（k）表示k的最大奇数因数，例如g（3）=3，g（10）=5．设．
（Ⅰ）求g（6），g（20）的值；
（Ⅱ）求S₁，S₂，S₃的值；
（Ⅲ）求数列{S_n}的通项公式．

Answer

（Ⅰ）利用g（k）表示k的最大奇数因数，可求g（6），g（20）的值；
（Ⅱ）根据g（k）表示k的最大奇数因数，确定相应的函数值，从而可求S1，S2，S3的值；
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）不难发现对m∈N*，有g（2m）=g（m），从而可得当n≥2时，Sn=4n-1+Sn-1，利用Sn=（Sn-Sn-1）+（Sn-1-Sn-2）+…+（S2-S1）+S1，即可求得结论．
【解析】
（Ⅰ）∵g（k）表示k的最大奇数因数，
∴g（6）=3，g（20）=5．                                           …（2分）
（Ⅱ）S1=g（1）+g（2）=1+1=2；S2=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=1+1+3+1=6；
S3=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+g（5）+g（6）+g（7）+g（8）=1+1+3+1+5+3+7+1=22．…（6分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）不难发现对m∈N*，有g（2m）=g（m）．            …（8分）
所以当n≥2时，
=[g（1）+g（3）+g（5）+…+g（2n-1）]+[g（2）+g（4）+…+g（2n）]
=[1+3+5+…+（2n-1）]+[g（2×1）+g（2×2）+…+g（2×2n-1）]
==4n-1+Sn-1…（11分）
于是，n≥2，n∈N*．
所以Sn=（Sn-Sn-1）+（Sn-1-Sn-2）+…+（S2-S1）+S1=4n-1+4n-2+…+42+4+2
=，n≥2，n∈N*．       …（13分）
又S1=2，满足上式，
所以对n∈N*，．                                 …（14分）