Question

已知函数f（x）=x²-ax+lnx+b（a，b∈R）
（1）若函数f（x）在x=1处的切线方程为x+y+2=0，求实数a，b的值；
（2）若f（x）在其定义域内单调递增，求a的取值范围．

Answer

对函数求导，根据题意可得f（1）=1-a+b，f′（1）=3-a
（1）由题意可得可求a，b
（2）由题意可得≥0在x∈（0，+∞）恒成立即2x2-ax+1≥0，结合二次函数的性质可求a的范围；
另解由题意可得≥0在x∈（0，+∞）恒成立，即a≤2x+，利用基本不等式求解2x+的最小值，进而可求a的范围．
【解析】
∵f（x）=x2-ax+lnx+b
∴…（2分）
∴f（1）=1-a+b，f′（1）=3-a…（4分）
（1）∵函数f（x）在x=1处的切线方程为x+y+2=0
∴
解得：a=4，b=0．…（7分）
（2）f（x）=x2-ax+lnx+b的定义域为{x|x＞0}…（8分）
∵f（x）在其定义域内单调递增
∴＞0在x∈（0，+∞）恒成立（允许个别点处等于零）   …（9分）
∵＞0（x＞0）即2x2-ax+1＞0
令g（x）=2x2-ax+1，则其对称轴方程是．
当即a≤03时，g（x）在区间（0，+∞）上递增
∴g（x）在区间[0，+∞）上有g（x）min=g（0）=1＞0，满足条件．…（11分）
当＞0即a＞0时，g（x）在区间上递减，g（x）在区间上递增，
则（a＞0）…（13分）
解得：0＜
综上所得，…（14分）
另【解析】
（2）f（x）=x2-ax+lnx+b的定义域为{x|x＞0}…（8分）
∵f（x）在其定义域内单调递增
∴＞0在x∈（0，+∞）恒成立（允许个别点处取到等号）…（9分）
∵＞0（x＞0）即（允许个别值处取到等号）…（10分）
令，则a≤g（x）min，…（11分）
因为，
当且仅当即时取到等号．…（13分）
所以 ，所以…（14分）