Question

设函数f（x）及其导函数f'（x）都是定义在R上的函数，则“∀x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|”是“∀x∈R，|f'（x）|＜1”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

Answer

由前边的命题成立能推出后边的命题成立，由后边的命题成立也能推出前边的命题成立，由此可得结论．
【解析】
由于f′（x）==，故|f′（x）|=．
由“∀x1，x2∈R，且x1≠x2，|f（x1）-f（x2）|＜|x1-x2|”，利用函数的导数的定义，可推出|f′（x）|＜1，
故成分性成立．
再由“∀x∈R，|f′（x）|＜1”，可得“∀x1，x2∈R，且x1≠x2，|f（x1）-f（x2）|＜|x1-x2|”成立，
故必要性成立．
综上可得，“∀x1，x2∈R，且x1≠x2，|f（x1）-f（x2）|＜|x1-x2|”是“∀x∈R，|f′（x）|＜1”的充要条件，
故选C．