Question

对于非空实数集A，记A*={y|∀x∈A，y≥x}．设非空实数集合M，P，满足M⊆P． 给出以下结论：
①P*⊆M*；
②M*∩P≠∅；
③M∩P*=∅．
其中正确的结论是    ．（写出所有正确结论的序号）

Answer

根据题意，分析可得集合A*的元素为所有大于或等于A中最大值的数，根据题意，分析三个命题：对于①，分M、P中都有最大值与P中无最大值两种情况讨论，分析可得均有P*⊆M*成立，可得①正确，对于②，举出反例，当集合M无最大值时，M*=∅，此时M*∩P=∅，则②错误；对于③，举出反例，当M=P，且M、P均有最大值时，分析可得此时M∩P*={a}≠∅，则③错误；综合可得答案．
【解析】
分析可得，集合A*的元素为所有大于或等于A中最大值的数，当集合A无最大值时，A*=∅，
假设M、N中元素有最大值，则设M中元素的最大值为a，P中元素的最大值为b，有M*={x|x≥a}，P*={x|x≥b}，
若非空实数集合M，P，满足M⊆P，则有a≤b，
对于①，若M中元素的最大值为a，P中元素的最大值为b，有M*={x|x≥a}，P*={x|x≥b}可得P*⊆M*成立，
若P中元素无最大值，则P*=∅，无论集合M的元素有无最大值，都有P*⊆M*成立，
则①正确；
对于②，当集合M无最大值时，M*=∅，此时M*∩P=∅，则②错误；
对于③，当M=P，且M、P均有最大值时，即M=P={x|x≤a}，此时M*=P*={x|x≥a}，此时M∩P*={a}≠∅，则③错误；
只有命题①正确；
故答案为①．