Question

在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，AB⊥BC，CD⊥BD，如图1．把△ABD沿BD翻折，使得平面A′BD⊥平面BCD，如图2．

（Ⅰ）求证：CD⊥A′B；
（Ⅱ）求三棱锥A′-BDC的体积；
（Ⅲ）在线段BC上是否存在点N，使得A′N⊥BD？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）通过已知条件证明CD⊥平面A'BD，然后证明CD⊥A'B．
（Ⅱ）在Rt△ABD中，推出∠ADB=DBC=30°．求出S△BDC，在Rt△A'BD中，过点A'做A'E⊥BD于E，说明A'E⊥平面BCD．说明是几何体的高，即可求解．
（Ⅲ）在线段BC上存在点N，使得A'N⊥BD，过点E做EN∥DC交BC于点N，推出EN⊥BD，说明BD⊥平面A'EN，A'N⊥BD．即可证明在线段BC上存在点N，使得A'N⊥BD．
满分（12分）．
【解析】
（Ⅰ）∵平面A'BD⊥平面BCD，平面A'BD∩平面BCD=BD，CD⊥BD
∴CD⊥平面A'BD，…（2分）
又∵AB⊂平面A'BD，∴CD⊥A'B．      …（4分）
（Ⅱ）如图（1）在．
∵AD∥BC，∴∠ADB=DBC=30°．
在．
∴．…（6分）
如图（2），在Rt△A'BD中，过点A'做A'E⊥BD于E，∴A'E⊥平面BCD．
∵，…（7分）
∴．…（8分）
（Ⅲ）在线段BC上存在点N，使得A'N⊥BD，理由如下：
如图（2）在Rt△A'EB中，，
∴，…（9分）
过点E做EN∥DC交BC于点N，则，
∵CD⊥BD，∴EN⊥BD，…（10分）
又A'E⊥BD，A'E∩EN=E，∴BD⊥平面A'EN，
又A'N⊂平面A'EN，∴A'N⊥BD．
∴在线段BC上存在点N，使得A'N⊥BD，此时．…（12分）