Question

平面内动点P到点F（1，0）的距离等于它到直线x=-1的距离，记点P的轨迹为曲线Γ．
（Ⅰ）求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）若点A，B，C是Γ上的不同三点，且满足．证明：△ABC不可能为直角三角形．

Answer

（Ⅰ）由条件可知，点P到点F（1，0）的距离与到直线x=-1的距离相等，从而可求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）解法一：利用反证法，假设△ABC是直角三角形，不失一般性，设∠A=90°，利用，及，可建立方程，利用方程的判别式，即可得出结论；
解法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由，得x1+x2+x3=3，y1+y2+y3=0，由条件的对称性，欲证△ABC不是直角三角形，只需证明∠A≠90°，分类讨论，斜率存在时，设直线AB的方程为：x=ty+m（t≠0），代入y2=4x，再假设∠A=90°，建立方程，利用方程的判别式，即可得出结论．
（Ⅰ）【解析】
由条件可知，点P到点F（1，0）的距离与到直线x=-1的距离相等，
所以点P的轨迹是以F（1，0）为焦点，x=-1为准线的抛物线，其方程为y2=4x．…（4分）
（Ⅱ）解法一：假设△ABC是直角三角形，不失一般性，设∠A=90°，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），
则由，，，
可得（x2-x1）（x3-x1）+（y2-y1）（y3-y1）=0．…（6分）
因为（i=1，2，3），y1≠y2，y1≠y3，
所以（y1+y2）（y1+y3）+16=0．…（8分）
又因为，所以x1+x2+x3=3，y1+y2+y3=0，
所以y2y3=-16．   ①
又，
所以，即．  ②…（10分）
由①，②得，所以． ③
因为△=（-22）2-4×256=-540＜0．
所以方程③无解，从而△ABC不可能是直角三角形．…（12分）
解法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由，
得x1+x2+x3=3，y1+y2+y3=0．…（6分）
由条件的对称性，欲证△ABC不是直角三角形，只需证明∠A≠90°．
（1）当AB⊥x轴时，x1=x2，y1=-y2，从而x3=3-2x1，y3=0，即点C的坐标为（3-2x1，0）．
由于点C在y2=4x上，所以3-2x1=0，即，
此时，，C（0，0），则∠A≠90°．…（8分）
（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：x=ty+m（t≠0），代入y2=4x，
整理得：y2-4ty-4m=0，则y1+y2=4t．
若∠A=90°，则直线AC的斜率为-t，同理可得：．
由y1+y2+y3=0，得，，y3=-4t．
由x1+x2+x3=3，可得．
从而+（-4t）2=12，
整理得：，即8t4-11t2+8=0，①
△=（-11）2-4×8×8=-135＜0，所以方程①无解，从而∠A≠90°．…（11分）
综合（1），（2），△ABC不可能是直角三角形．…（12分）